Jeg har ikke erfaring selv, men foreslår at du leser gjennom noen saker her og ser om noen av sakene ligner din:
https://www.nemndene.no/tvistelosningsnemnda/vedtak-tvistelosningsnemnda/
Søk på tema: redusert arbeidstid - vektige velferdsgrunner
Arbeidsgiver har kun rett til å avslå din søknad hvis det medfører vesentlig ulempe for de.
Hvis det er en liten arbeidsgiver ville jeg gjort de oppmerksom på
https://www.arbeidstilsynet.no/arbeidsforhold/arbeidstid/redusert-arbeidstid/ i første omgang, og evt. bedt om at dere kan gå i dialog rundt det praktiske rundt gjennomførelsen, og utarbeidelse av skriftlig avtale. Er du redd for at de ikke følger lover og regler, så sørg for å at mest mulig dialog skjer skriftlig. Har dere gjort muntlige avtaler send en e-post etter møtet med: «Sender for ordens skyld en oversikt over det vi ble enige om da vi snakket sammen i går.»
Hvis det er en stor arbeidsgiver, gå et eller flere hakk opp fra der du har henvendt deg. Gå evt. rett til personalavdelingen og spør om de kan hjelpe deg videre i prosessen. I en del helseforetak, og kanskje andre steder og(?) er det dessverre slik at lederne på avdelingen ikke ønsker å sette seg så mye inn i regelverk som gjør deres arbeidshverdag vanskeligere. Men personalavdelingen forstår som regel at ting må gjøres riktig.